Что такое подмножество? Как найти все подмножества множеств Что значит подмножество.
Идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.
Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.
Виды множеств
Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.
Определение 2
Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.
Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.
Определение 3
Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством .
Подмножества
Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.
Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.
В математике часть множества называют - подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.
Обозначение множеств, подмножеств и их элементов
Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.
Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.
Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.
Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$
Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$
Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$
Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $\subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.
Пример 1
Определить какие элементы из перечисленных $12,38,54,79,934$ будут входить в множество $A$- чисел кратных $3$.
Решение: По условию множество $A$ содержит в себе элементы, каждый из которых должен быть кратным, т.е. делится без остатка на $3.$ Значит для того чтобы определить будут ли заданные числа являться элементами множества $A$ нам надо проверить какие из них будут делится на $3$ без остатка, какие нет.
Вспомним признак делимости на $3$ : Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка.
$12$ делится на $3$, т.к. сумма цифр числа $12$ равна $3$
число $38$ на $3$ без остатка делится не будет, т.к. сумма цифр $3+8=11$ не делится на $3$ без остатка
аналогично т.к. суммы цифр числа $54$ равна $9$ доказываем, что на $3$ оно делится, в число $74$ на $3$ делится не будет, т.к. сумма цифр равна $11.$
Найдем сумму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,значит и число $934$ на $3$ без остатка делится не будет
Теперь сделаем вывод, какие числа будут являться элементами множества $A$:
Способы задания множеств
Существует два глобально различных способа задания множеств.
Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него
Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\{a,b,c\right\}$
При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.
Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества - множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.
Пример 2
Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, что все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:
$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$
Равенство множеств
Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.
Объединение множеств
Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$
Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$
Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$\ А\ \cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.
Разность множеств
Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.
Определение:
Множество – это любая совокупность объектов, которые называются его элементами.
Если х- элемент множества М, то обозначают: х М { х – принадлежит М}, если не принадлежит, то х ∉ М; Множество не содержащее элементов называется пустым и обозначается ∅
Множество, в котором содержатся все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается –
Ư. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными и обозначаются А = В.
Если любой элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (частью множества А) и обозначается В ⊂ А; Отсюда следует, что любое множество является частью самого себя.
По определению пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Т.о. у любого множества А есть два подмножества:
Они называются несобственными подмножествами множества А. Любое множество В множества А, которое не является несобственными подмножествами А, (т.е. они отличны от А и ∅) и называются собственными подмножествами подмножества А. Множество из одного элемента а обозначается {а}.
Пример: А = {1;2;3} тогда пустое множество ∅ и само множество А является несобственными подмножествами А.
Множества:{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3} называются собственными подмножествами множества А. Совокупность всех множеств А называется его булеаном и обозначается – 2 А; В А, означает, что В А, В ≠ А. В этом случае говорят, что В строго включено в А или В является собственным подмножеством А;
В случае В ⊆ А, В = А говорят, что В нестрогое включение в А, т.е. В является несобственным подмножеством А.
Основные логические символы
ХР(х) – квантор общности (означает “для любого х выполняется
ХР(х) – квантор существования (означает “существует х, для которого выполняется Р (х)”.)
Р ⇒ Q – импликация (“из Р следует Q ”)
⟺ - эквивалентность (“тогда и только тогда”)
Р ∧ Q – конъюнкция (“Р и Q”)
Р ∨ Q – дизъюнкция (“Р или Q”)
Не Р или - отрицание Р
: = - символы присвоения (“положим”)
def – (“положим по определению”)
Используя эти символы можно записать:
1) (А = В) ⟺(( х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ ( х ∈ В ⇒ х ∈ А)
2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)
3) (А = В) ⟺ (В ⊂ А ∧ А⊂ В)
Задание множеств
Перечислением элементов: М: = { а 1 ; а 2 ; а 3 ; …; а n }
или характеристическим свойством Р(х)
(предикатом): М: = { х | Р(х) }
Например:
1) В = { х ∈ N | х < 3} означает, что В= { 1; 2}
2) А ={ х ∈ N | х +1=5} означает, что А = {4}
3) В = { х ∈ N | х M5} или {5;10;15…}
т.е. { х | Р(х) }означает, что множество элементов х множества обладает свойством Р(х)
4) М = { х ∈ N | х 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}
Операции над множествами
Рассматриваются следующие операции над множествами:
1 0 . Объединение множеств А и В.
U
А ∪ В = { х/х ∈ А или х ∈ В} – т.е. состоит из элементов, принадлежащих хотя б одному из множеств А или В.
2 0 . Пересечение множеств А и В.
A∩B = {x/x ∈ A и x ∈ B} – т.е. состоят из элементов, принадлежащих одновременно А и В.
3º. Разность множеств А и В.
A/B = {x/x ∈ A и x ∉ B} – т.е. состоит из элементов А, не принадлежащих В.
4º. Симметрическая разность А и В (или кольцевая сумма А и В)
А Ө B = {x/x ∈ A и x ∉ B} ∪ {x/x ∈ В и x ∉ А} или {А\В ∪ В\А}
5º. Дополнение А до универсума
= U\A = {x|x ∈ Uux и x ∉ А}
Произведение множеств
Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, в которой I элемент из множества А, II элемент – из множества В, т.е. А×В = {(а, в)/а Є А ̂в Є В}
Пример: А={2;5;7;9} и В ={2;4;7},
Тогда А×В = {(2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7,4) ; (7,7) ; (9,2) ; (9,4); (9,7)}
А∩В={2,7}; А∪В={2,4,5,7,9}; А/В={5,9}; В/А={4}; А Ө В={4,5,9}
Элементы множества А×В называются точками; В паре (х, у) абсцисса – х и ордината – у точки, соответствующей этой паре.
Множество точек плоскости является прямым произведением вида R×R=R 2 , где R–множество действительных чисел.
R 2 называется декартовым квадратом на R.
Элементы теории графов
Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.
Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных по какому-то общему признаку.
Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.
Множество обозначают символом A = {x }, где x - общее наименование элементов множества A . Часто множество записывают в виде A = {a , b , c , ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A . Будем пользоваться обозначениями:
N
- множество всех натуральных чисел;
Z
- множество всех целых чисел;
Q
- множество всех рациональных чисел;
R
- множество всех действительных чисел;
C
- множество всех комплексных чисел;
Z 0
- множество всех неотрицательных целых чисел.
a принадлежит множеству A .
Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A .
Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.
Множество B , все элементы которого принадлежат множеству A , называется подмножеством множества A , и при этом записывают (или )
Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A . Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.
Если , то A и B называются равными множествами , при этом записывают A = B .
5. Операции над множествами: объединение множеств, свойства этой операции.
Объединение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В, т.е. принадлежат А или принадлежат В.
объединением множеств A и B называется множество
6. Операции над множествами: пересечение множеств, свойства этой операции.
Пересечение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Пересечением подмножеств A и B называется множество
7. Элементы комбинаторики: Перестановки.
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения .
Правило суммы : пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A 1 , A 2 , …, A n , содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m 1 + m 2 + … + m n .
Пример . Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y , то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.
Правило произведения : пусть имеется n множеств A 1 , A 2 , …, A n содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а 1 , а 2 , ..., а n ), где а i Î А i1 (i = 1, 2, …, n ), равно m 1 · m 2 · … · m n .
Пример . Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.
Факториал. Так называют часто встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor - «сомножитель». Обозначается она . Для каждого целого положительного числа функция равна произведению всех целых чисел от 1 до . Например: . Для удобства полагают по определению . Особенно часто встречается факториал в комбинаторике. Например, количество способов выстроить школьников в одну шеренгу равняется
Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой .
Общее число перестановок из m элементов обозначается P m и вычисляется по формуле:
8. Элементы комбинаторики: Сочетания.
Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п .
Общее число сочетаний находится по формуле:
9. Элементы комбинаторики: Размещения.
На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.
Пример 1.
Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:
Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.
Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.
Всего: 16 подмножеств.
Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.
Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
. любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
. У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.
Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.
Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n
Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.
Теорема. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2 n .
Доказательство.
Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2 1) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2 2) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2 3) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n 0 и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального n = k ≥ n 0 можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.
1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2 k .
3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2 k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B \ {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A - это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2 k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2 k
штук.
Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.
В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.
Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.
Пример 2.
Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}
Калькулятор множества всех подмножеств.
В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о} , достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.
